Özel Sayılar: Tanımlar ve Örnekler

Özel sayılar, matematikte belirli özelliklerle tanımlanan sayı veya sayı sınıflarıdır. Asal sayılar, Kaprekar sayıları gibi tekil sınıflar yanında, Fibonacci gibi özel sayı dizileri de vardır. Aşağıda hem temel kümeler hem de klasik–ileri düzey özel sayılar, kısa açıklama ve örneklerle sunulmuştur.

1) Temel Sayı Kümeleri

  • Doğal / Tam Sayılar: Doğal sayılar 0,1,2,3,…; tam sayılar negatifleri de içerir. Matematiğin aritmetik temeli bu kümelerdir. Örnek: −3, 0, 7.
  • Rasyonel & İrrasyonel: Rasyoneller p/q (q≠0) biçimindedir; irrasyoneller bu biçimde yazılamaz. Birlikte “gerçek sayıları” oluştururlar. Örnek: 1/2 (rasyonel), √2, π (irrasyonel).
  • Gerçek (Reel) & Kompleks: Gerçek sayılar sayı doğrusunun tamamıdır; kompleks sayılar a+bi biçimindedir. Kompleks düzlem analiz ve sinyallerde kritiktir. Örnek: 3+2i.

2) Klasik Özel Sayılar

  • Asal Sayılar: Yalnız 1 ve kendisine bölünür; kriptografi ve sayı teorisinin bel kemiğidir. Örnek: 2, 3, 5, 7, 11.
  • İkiz Asallar: Araları 2 olan asal çiftlerdir; dağılımları büyük açık problemlerdendir. Örnek: (3,5), (11,13).
  • Mersenne Asalları: 2p−1 biçimindeki asallar büyük asal rekorlarında başroldedir. Örnek: 3, 7, 31.
  • Fermat Sayıları: 2(2n)+1 biçimindedir; az sayıda Fermat asalı bilinmektedir. Örnek: 3, 5, 17, 257, 65537.
  • Palindromik Sayılar: Tersten de aynı okunur; sayısal simetri örneğidir. Örnek: 121, 1331.
  • Dairesel (Circular) Asallar: Basamak döndürmelerinin hepsi asaldır. Örnek: 197 → 197, 971, 719.
  • Emirp: Tersi de asal olan asal sayılardır; palindromik olmayan örnekler ilginçtir. Örnek: 13 ↔ 31.
  • Armstrong (Narsistik) Sayılar: Basamaklarının, basamak sayısı kadar üssü toplamı kendisini verir. Örnek: 153 = 1³+5³+3³.
  • Harshad (Niven) Sayıları: Rakamları toplamına tam bölünür; 10 tabanına bağlıdır. Örnek: 18 (1+8=9, 18÷9=2).
  • Mükemmel Sayılar: Kendisi hariç bölenleri toplamı kendisine eşittir; çift mükemmeller Mersenne asallarıyla bağlantılıdır. Örnek: 6, 28, 496.
  • Arkadaş (Amicable) Sayılar: Birinin uygun bölenleri toplamı diğerini verir. Örnek: 220 ↔ 284.
  • Smith Sayıları: Asal çarpanlarının rakam toplamı, sayının rakam toplamına eşittir. Örnek: 666.
  • Kaprekar Sayıları: n²’nin iki parçaya ayrılıp toplamı tekrar n’i verir. Örnek: 45 (2025 → 20+25).
  • Kaprekar Sabitleri: Basamak sıralama–çıkarma sürecinin çekimleri. Örnek: 6174 (4 basamak), 495 (3 basamak).
  • Döngüsel Sayılar: Katları, basamaklarının permütasyonları olur. Örnek: 142857.
  • Figüratif (Şekil) Sayılar: Noktalarla geometrik şekil oluşturur (üçgensel, kare, küp, beşgensel, altıgensel). Örnek: Tn=n(n+1)/2.
  • Happy (Mutlu) Sayılar: “Rakam kareleri toplamı” iterasyonunda 1’e ulaşan sayılardır. Örnek: 19 → 1²+9²=82 → … → 1.
  • Zengin / Yetersiz Sayılar: Uygun bölenler toplamı n’den büyükse zengin, küçükse yetersizdir. Örnek: 12 zengin, 8 yetersiz.
  • Yarıasal (Semiprime): İki asalın çarpımıdır; kriptografi (RSA) için kritiktir. Örnek: 15=3×5.

3) Özel Sayı Dizileri

  • Fibonacci Dizisi: Fn=Fn−1+Fn−2; doğadaki örüntüler ve oranlarla (altın oran) ilişkilidir. Örnek: 0,1,1,2,3,5,8,…
  • Lucas Dizisi: Fibonacci’ye benzer, farklı başlangıçlarla tanımlanır; sayısal özellikleri yakındır. Örnek: 2,1,3,4,7,…
  • Pell Dizisi: Pn=2Pn−1+Pn−2; diofantik denklemlerle bağlantılıdır. Örnek: 0,1,2,5,12,…
  • Perrin Dizisi: Pn=Pn−2+Pn−3; asal testleriyle ilginç ilişkileri vardır. Örnek: 3,0,2,3,2,5,5,…
  • Jacobsthal Dizisi: Jn=Jn−1+2Jn−2; ikili sayma ve kodlamalarda çıkar. Örnek: 0,1,1,3,5,11,…
  • Tribonacci / Tetranacci: Sırasıyla 3 ve 4 önceki terimin toplamıdır; rekürsif modellemelerde görünür. Örnek: Tribonacci: 0,0,1,1,2,4,7…
  • Catalan Sayıları: Parantezleme, ikili ağaçlar gibi kombinatoryal sayıma damga vurur. Örnek: 1,1,2,5,14,…
  • Bell Sayıları: Bir kümenin kaç farklı şekilde bölüneceğini sayar. Örnek: 1,1,2,5,15,52…
  • Motzkin & Schröder: Belirli kafes yollarını sayar; geometrik saymalarda kullanılır. Örnek: Motzkin: 1,1,2,4,9,…
  • Stirling Sayıları (I–II. tür): Permütasyon döngüleri ve küme bölmeleriyle ilişkilidir. Örnek: S(4,2)=7.
  • Euler & Bernoulli Sayıları: Analiz, seri açılımları ve sayı teorisinde başat roller oynar. Örnek: B2=1/6.
  • Harmonik & Genelleştirilmiş Harmonik: 1+1/2+…+1/n ve p’li genellemesi; analiz ve olasılıkta çıkar. Örnek: Hn.
  • Primorial & Faktöriyel: Primorial = asal çarpımları; faktöriyel = 1×2×…×n. Örnek: 2#=2, 3#=6, 5#=30.

4) İleri Düzey & Teoriye Özgü

  • Leyland Sayıları: xy+yx biçimi; bazı özel asal örnekleri vardır. Örnek: 17=2³+3².
  • Woodall Sayıları: n·2n−1; bazı n’lerde asal olabilir (Woodall asalı). Örnek: 7 (n=3).
  • Pierpont Sayıları: 2a·3b+1; cetvelle-pergel inşalarında tarihsel öneme sahiptir. Örnek: 7, 13, 19.
  • Carmichael Sayıları: Fermat testinde asal gibi davranan bileşikler; asal testlerinin sınırlılığını gösterir. Örnek: 561.
  • Kongruent Sayılar: Kenarları rasyonel olan dik üçgenlerin alanı olabilen sayılardır. Örnek: 5, 6, 7…
  • Taxicab Sayıları: İki küp toplamı olarak birden fazla şekilde yazılabilenler. Örnek: 1729 = 1³+12³ = 9³+10³.
  • Zuckerman Sayıları: Rakamları çarpımına tam bölünebilen sayılardır. Örnek: 135 (1·3·5=15, 135÷15=9).
  • Tau Sayıları: Bölen sayısı τ(n), n’i böler; bölensel işlevlerle bağlantılıdır. Örnek: 9 (τ=3, 9÷3=3).
  • Hyperperfect Sayılar: σ(n)=(k+1)n−1 koşuluyla tanımlanır; perfect’in genellemesidir. Örnek: k=2 için 21.
  • Skewes Sayısı: π(x) ile li(x) sıralamasının yer değiştirdiği “dev” üst sınır bağlamında ünlüdür. Örnek: İlk tahminler astronomiktir.
  • Graham Sayısı: Ramsey kuramında bir üst sınır; standard biçimlerde yazılamayacak kadar büyüktür. Örnek: g₁,g₂,…
  • Erdős–Woods Sayıları: Belirli ardışık aralıklarda tüm sayıların başlangıç sayısıyla ortak bölen paylaşmasıyla ilgilidir. Örnek: Özel n değerleri literatürde bilinir.
  • Leyland Asalları: Leyland formunda çıkan asal örnekler; seyrektir.
  • Sosyable Sayılar: Amicable’ı döngü uzunluğu > 2 olacak şekilde geneller. Örnek: 12496→14288→15472→14536→14264→12496.
  • Perfect Totient Sayılar: Totient (φ) fonksiyonunun yinelenen toplamı n’e eşittir. Örnek: 9.
  • Powerful Sayılar: Asal çarpanlarının üsleri ≥2’dir; n=ab² biçimiyle ilişkilidir. Örnek: 36=2²·3².
  • Highly Composite: Kendinden küçük tüm sayılardan daha fazla böleni vardır. Örnek: 12, 24, 36.
  • Superperfect Sayılar: σ(σ(n))=2n koşulunu sağlar; seyrektir. Örnek: 2p−1 tipleri.
  • Weird Sayılar: Abundant olup, uygun bölenlerinin hiçbir altkümesi n’i vermez. Örnek: 70.
  • Abundant / Deficient: σ(n)−n > n ise abundant, < n ise deficient. Örnek: 12 abundant, 8 deficient.

5) Ekstra Özel Sınıflar (Genişletilmiş)

  • Sophie Germain Asalları: p ve 2p+1 asaldır; kriptografi ve asal arayışlarında önemlidir. Örnek: p=23, 2p+1=47.
  • Cunningham Zincirleri: p, 2p+1, 2(2p+1)+1,… biçiminde ardışık asal zincirlerdir. Örnek: 2,5,11,23,47.
  • Proth Sayıları & Asalları: k·2n+1 (k tek, k<2n); bazıları asaldır. Örnek: 3·2⁵+1=97 (asal).
  • Fermat Asalları: Fermat sayılarından asal olanlardır; çok azı bilinir. Örnek: 3, 5, 17, 257, 65537.
  • Wieferich Asalları: p², 2p−1−1’i böler; son derece nadirdir. Örnek: 1093, 3511.
  • Repunit Sayıları: Tamamı 1’lerden oluşur (10 tabanında); asal olanlarına repunit asalı denir. Örnek: 11, 111…
  • Automorphic Sayılar: n²’nin son basamakları n ile biter; taban bağımlıdır. Örnek: 5→25, 6→36, 76→5776.
  • Pandigital Sayılar: Her basamağı en az bir kez içerir (belirli kurallara göre). Örnek: 1023456789.
  • Practical (Pratik) Sayılar: 1’den n’e kadar her sayı, n’in bölenleri toplamı olarak yazılabilir. Örnek: 12.
  • Untouchable (Dokunulmaz) Sayılar: Hiçbir sayının uygun bölenleri toplamı olarak elde edilemez. Örnek: 2, 5.
  • Keith Sayıları: Basamaklarından oluşan dizi, rekürsif toplamla tekrar sayının kendisini üretir. Örnek: 197.
  • Perfect Power (Mükemmel Kuvvet): ab (a,b≥2) biçiminde yazılabilir; asal testlerinde filtre olarak kullanılır. Örnek: 27=3³.
  • Hamming (5-smooth) Sayıları: Asal çarpanları yalnız 2,3,5’tir; çoklu ortam örnekleme hızlarında çıkar. Örnek: 60.
  • Smooth Sayılar (y-smooth): Tüm asal çarpanları ≤y olan sayılar; faktorizasyon yöntemlerinde kritiktir. Örnek: 10-smooth.
  • Ulam Sayıları: Önceki terimlerin benzersiz toplamıyla büyür. Örnek: 1,2,3,4,6,8,11…
  • Pisot–Vijayaraghavan (PV) Sayıları: 1’den büyük cebirsel; diğer kökleri birim çemberin içinde. Örnek: Plastık sabit ≈1.3247.
  • Salem Sayıları: 1’den büyük cebirsel; eş-kökleri birim çemberi üzerinde/içinde. Not: En küçük örnek açık problemle ilişkilidir.
  • Cullen Sayıları: n·2n+1; bazı n’lerde asal bulunur (Cullen asalı). Örnek: n=1→3.
  • Repdigit Sayıları: Tek bir rakamın tekrarıyla oluşur; tabana göre incelenir. Örnek: 7777.
  • Happy Asallar: Hem happy hem asal olan sayılar; sayısal oyunlarda popülerdir. Örnek: 7, 13, 19…

Not: Bu listede yer alan başlıklar, matematik literatüründe yaygın kabul görmüş özel sayılar ve özel sayı dizileridir.

⬆️ Başa dön

Öğrencilerimiz ve Velilerimiz Neler Diyor?

Gerçek kullanıcılar, gerçek yorumlar.

Tamamını Görmek İçin Tıklayın